图像高斯噪声情况下的运动判别

问题是我们估计一对图像之间是否存在局部运动，我们知道这两张图像各自的噪声分布，在某个亮度下服从正态分布sigma1 和 sigma2 （非常符合采集图像时cfa图像的噪声分布），我们从亮度来估计该区域是否存在运动的概率。

蒙特雷函数

这里我们简单介绍下维纳滤波。维纳滤波是最优的线性滤波器， x(t)经过线性系统h(t)之后，得到x'(t)=x(t)*h(t) ， *表示时域的卷积，或频域的乘积，x'(t)逼近y(t)时，我们用最小均方误差MSE作为cost function

min E(Y-\alpha X)^2

由于卷积是线性的，最小均方误差意义下的逼近仍然是线性逼近，最小均方误差下的最优估计是条件期望 E(Y|X), 即Y向X做投影，那么最优估计为

\alpha=\frac{E(XY)}{E(X^2)}

观测值X=真值Y+噪声N， Y和N独立, 我们想从X来估计Y，所以 E(YN)=0, 于是有

\alpha=\frac{E(XY)}{E(X^2)}=\frac{E((Y+N)Y)}{E(Y^2)+E(N^2)}=\frac{E(Y^2)}{E(Y^2)+E(N^2)}

现在回到我们面临的问题上来，我们有了图像对应像素的差值ds（观测值），同时可以通过噪声系数得到噪声值dm（噪声引起的distance的期望），我们期望排除噪声dm的影响。

那么我们把Y=ds， N=dm带入上式，得到alpha，作为修正系数，对观测值Y进行修正

图像像素绝对值的差实际是叠加了真实信号和噪声的，同时噪声是独立于信号的，于是我们可以使用维纳滤波来求信号的最优估计：

我们在一个小区域计算的样本标准差，还需要经过一个无偏修正，这里直接给出公式：

matlab 代码可以这样写，n是像素点数，对3×3区域来说，n=3×3=9：

推导请移步：https://stats.stackexchange.com/questions/11707/why-is-sample-standard-deviation-a-biased-estimator-of-sigma