列维-奇维塔符号（Levi-Civita symbol）和 爱因斯坦标记（Einstein notation）是张量运算的常用标记。
爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）又称为爱因斯坦标记法（Einstein notation），可以让表达式更加简洁明了。里面主要涉及两个概念：哑标（dummy index），自由标（free index）
定义
哑标：在表达式的某项中，若某下标重复出现两次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和，该重复指标称为哑标，未被求和的下标被称为自由标
自由标：在表达式某项中，若某下标只出现一次，若在取值范围内轮流取该下表的任意值时，关系式恒成立，则该下标被称为自由标。
哑标只能成对出现，头则要加上特别符号说明
若重复标号不求和，应特别声明
einsum表达式
我们先看下面一个矩阵乘法的表达式
np.einsum(‘ij,jk->ik’, A, B)
我们把’->’看作输入和输出的分隔符，左侧两个输入用’, ‘ 隔开，熟悉线形代数的话，就很容易从下标理解操作了：
回顾我们前面提到的概念，’ij,jk’ 中 j 重复用了两次， 1次表示A的第二个轴，1ci表示B的第一个轴，要保证输入合法，意味着A的第二个轴和B的第一个轴做乘积，就需要A行长和B列长一致。
如果某个轴标签在输出标签消失了，则表示要沿着该轴做求和运算。同时我们也可以获取任意轴序的结果输出。了解基本规则之后，我们可以理解einsum是非常节约空间的计算函数，einsum不构建中间临时的array，直接累加的到最终结果。
einsum操作
如果A和B是1D array，A和B的形状总是合适的
| Call signature | NumPy equivalent | Description |
|---|---|---|
| (‘i’, A) | A | A |
| (‘i->’, A) | sum(A) | A的所有元素和 |
| (‘i,i->i’, A, B) | A * B | A和B逐元素乘积 |
| (‘i,i’, A, B) | inner(A, B) | A和B的内积 |
| (‘i,j->ij’, A, B) | outer(A, B) | A和B的外积 |
如果A和B是两个2D arrays， 假设在相应操作中，A和B的形状是合适的，那么：
| Call signature | NumPy equivalent | Description |
|---|---|---|
| (‘ij’, A) | A | A |
| (‘ji’, A) | A.T | A的转置 |
| (‘ii->i’, A) | diag(A) | A 的对角 |
| (‘ii’, A) | trace(A) | A的迹 |
| (‘ij->’, A) | sum(A) | A的所有元素和 |
| (‘ij->j’, A) | sum(A, axis=0) | A的沿着axis=0的和 |
| (‘ij->i’, A) | sum(A, axis=1) | A的沿着axis=1的和 |
| (‘ij,ij->ij’, A, B) | A * B | A和B逐元素乘积 |
| (‘ij,ji->ij’, A, B) | A * B.T | A 和 B.T 逐元素乘积 |
| (‘ij,jk’, A, B) | dot(A, B) | A 和 B 的矩阵乘法 |
| (‘ij,kj->ik’, A, B) | inner(A, B) | A 和 B 的内积 |
| (‘ij,kj->ikj’, A, B) | A[:, None] * B | A的每一行与B的乘积 |
| (‘ij,kl->ijkl’, A, B) | A[:, :, None, None] * B | A的每一个元素与B的乘积 |
‘->’ 符号省略时，一般时看作A末尾下表和B前面下标相同，进行的省略
einsum中的 ‘…’ 符号，在处理比较多维度时，可以像numpy array 一样使用 ‘…’ 符号省略一些维度的显式表示。例如：
np.einsum(‘…ij,ji->…’, a, b)
注意，einsum求和时，不会提升数据类型，因此处理尾款比较小的数据可能得不到预期的结果
einsum在numpy计算库中并不一定总是最快的，dot和inner 函数一般使用快速计算库blas，计算速度更快一些。
参考链接：https://blog.popkx.com/A-basic-introduction-to-NumPy-s-einsum/