期权自诞生以来，其定价一直是不断被研究的问题。如今诞生了多重期权定价模型，二叉树、B-S、B-S-M、BAW、蒙特卡洛等定价模型都被广泛用于金融工程。这篇博客简单介绍二叉树定价和B-S定价模型推导的原则和假设，不涉及推导细节。
1973年，Black and Scholes。提出了B-S期权定价模型，对标的资产的价格服从对数正态分布的期权进行定价。其对欧式期权有精确的定价公式，但是对美式期权不可能求解，并且数学推导和表达难度较高。
1979年，J.C.Cox S.A.Ross M.Rubinstein Sharpe等人提出一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价格，和B-S期权定价相互补充。
B-S模型
期权定价模型是基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的的组合来保证确定报酬。期权的定价思想和无套利定价的思想是一致的。
无套利定价，就是说任何零投入的投资只能获得零回报，任何非零投入的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，而不能获得超额回报（超过于风险相当的报酬和利润）。
B-S模型有如下假设条件
- 标的资产价格服从对数分布
- 期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的
- 市场无摩擦，即不存在税收和交易成本
- 金融资产在期权有效期内无红利和其它所得
- 期权是欧式期权，在期权到期前不可实施
- 不存在无风险套利机会
- 证券交易是持续的
- 投资者能够以无风险利率借贷
定价公式：
C=S·N(D1)-L·(E^(-γT))*N(D2)
其中：
D1=(Ln(S/L)+(γ+(σ^2)/2)*T)/(σ*T^(1/2))
D2=D1-σ*T^(1/2)
- C—期权初始合理价格
- L—期权交割价格
- S—所交易金融资产现价
- T—期权有效期
- γ—连续复利计无风险利率H
- σ2—年度化方差
- N()—正态分布变量的累积概率分布函数
二叉树期权定价模型
二叉树期权定价模型假设股价只有向上和向下两个方向，并且在整个考察期内，股价每次向上（或向下）波动的概率和幅度不变。模型将考察氛围若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出标的在整个考察期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和贴现法计算出权重的价格。
二叉树的无风险套利模型在期权价值树、标的价值树、无风险收益树上进行计算，这些二叉树给出股票、标的、无风险资产在不同阶段的状态和价格。
计算过程是先估计股票价格的波动性，然后计算上升状态因子和下降状态因子，计算期权到期日哥哥状态的价价格，然后利用二项式公式计算期权价格。
加入我们买入A股股票，卖出一份买入期权的组合，要求到期日无论何种情况出现，组合价值和买入股票价值相同
A*S0(1+u)-R_u=A*S0(1+d)-R_d
利用无风险套利原理：
S0*A-C=[A*S0*(1+u)-R_u]e^(-r*T)
通过上面两个公式解得：
C=^(-rT)[beta*R_d+(1-beta)*R_u]
beta = -(e^(rT)-(1+u))/(u-d) = u-(e^(rT)-1)/(u-d)
- S0 —股票在初期的价格
- SX —期权确定的执行价格
- u —股票价格在单个时间阶段内的上升因子
- d —股票价格在单个时间阶段内的下降因子
- Ru —期权在股票价格上升状态下的收益
- Rd —期权在股票价格下降状态下的收益
- r —无风险收益率
- T —期权的时限